検索したい科目／教員名／キーワードを入力し「検索開始｣ボタンをクリックしてください。
※教員名では姓と名の間に１文字スペースを入れずに、検索してください。
基礎数理特別研究Ⅰ
| 令和４年度以降入学者 | 基礎数理特別研究Ⅰ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 吉田健一 | ||||
| 単位数 | 4 | 課程 | 前期課程 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 通年 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業形態 | 対面授業 |
|---|---|
| Blackboard ID | 20237112 |
| 授業概要 | 今後の研究に必要な代数系、特に可換環論の位相幾何学の基礎的な性質を学修する. |
| 授業のねらい・到達目標 | ＜授業のねらい＞ 教員による「可換環論の基礎」の講義と演習・発表を経て、今後の研究に必要な可換環論のイデアル論・ホモロジー代数を身に付ける。 ＜到達目標＞ ・イデアルの定義を理解し，自分の言葉で説明できるようになる。 ・グラフや整数の性質を環やイデアルの言葉で理解し、説明できる。 ・可換環のCohen-Macaulay 性の定義を説明できる。 |
| 授業の形式 | 研究 |
| 授業の方法 | 少人数のゼミ形式の講義である。 ・教員による講義を聴き、演習問題を解く。 ・自らテキストを読み，その自分の学修成果を口頭発表する。 ・発表内容についての議論の中で，理解を深め，自らの研究に活かせるようにする。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
ネーター環とアルチン環の性質を学修する
【事前学習】これまで学んできたイデアルの諸定義について復習しておくこと. （3時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直しておく。 （5時間） 【授業形態】対面授業 |
| 2 |
加群と準同型写像，中山の補題，完全列を学修する。
【事前学習】これまで学んできたベクトル空間と線形写像について復習しておくこと. （3時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （5時間） 【授業形態】対面授業 |
| 3 |
ホモロジー代数（テンソル積とHom）について学修する。
【事前学習】教科書１の定義3.30と注意を読み、テンソル積のイメージをつかんでおく。 （3時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （5時間） 【授業形態】対面授業 |
| 4 |
局所化について学修する。
【事前学習】教科書１の3.3節を読み、局所化に関する発表の準備を行う。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 5 |
アフィン多様体とザリスキー位相について学修する。
【事前学習】教科書１の3.4の内容をまとめ，アフィン多様体に関する発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 6 |
随伴素因子とイデアルの準素分解について学修する。
【事前学習】教科書１の3.4の内容をまとめ，随伴素因子についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 7 |
ホモロジー代数の補足（コホモロジーの長完全列，導来関手など）を学修する。
【事前学習】参考書２の第４章と第６章を読み、第２回と第３回の内容を復習しておく。 （4時間） 【事後学習】質疑応答や議論をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 8 |
環と加群の次元について学修する。
【事前学習】教科書１の3.6の内容をまとめ，次元について発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） |
| 9 |
一意分解整域(UFD)、単項イデアル整域(PID), 正則局所環について学修する。
【事前学習】教科書１の3.6の後半の内容をまとめ，正則局所環について発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
整拡大と整閉包について学修する。
【事前学習】教科書１の3.7の内容をまとめ，整拡大について発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
付値環とデデキント環について学修する。
【事前学習】教科書１の3.8の後半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 12 |
Cohen-Macaulay 環の定義とさまざまな例について学修する。
【事前学習】教科書の3.9の後半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 13 |
単項式イデアルの四則演算について学修する。
【事前学習】前の週に配布される資料を用いて、発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 14 |
無平方単項式イデアルと単体的複体の関係について学修し、Stanley-Reisner 環の次元の計算方法を学修する。
【事前学習】前の週に配布される資料を用いて、発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 15 |
これまでの総復習と演習問題
【事前学習】これまでの復習をしながら，教科書１の演習問題を解き，発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】これまでの総まとめをし，これからの研究に向けてまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 16 |
整閉性に関する Serre の判定法を学修する。
【事前学習】教科書２の第3章3節を読み，Serre の判定法についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 17 |
UFDと因子類群について学修する。
【事前学習】教科書２の第3章4節を読み，因子類群についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 18 |
完備化とArtin-Rees の補題について学修する。
【事前学習】教科書２の第4章1節を読み，因子類群についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 19 |
Hensel の補題と完備局所環の構造定理について学修する。
【事前学習】教科書２の第4章1,2節を読み，Hensel の補題についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 20 |
Auslandaer-Buchsbaum の定理について学修する。
【事前学習】教科書２の第5章1節を読み，射影次元についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 21 |
入射加群の構造定理とMatlis の双対定理について学修する。
【事前学習】教科書２の第5章2,3節を読み，Matlisの双対定理についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 22 |
平坦加群とその性質について学修する。
【事前学習】教科書２の第5章5節を読み，テンソル積について復習しておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 23 |
Koszul 複体とCech 複体について学修する。
【事前学習】教科書２の第3章3節を読み，因子類群についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 24 |
局所コホモロジーについて学修する。
【事前学習】教科書２の第5章7節を読み，局所コホモロジーについての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 25 |
Hilbert-Burch の定理について学修する。
【事前学習】教科書２の第5章8,9節を読み，Hilbert-Burch の定理についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 26 |
Bass数について学修する。
【事前学習】教科書２の第6章1節を読み，Bass数についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 27 |
Gorenstein環とその例について学修する。
【事前学習】教科書２の第6章2節を読み，Gorenstein 性についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 28 |
正準加群と局所双対定理について学修する。
【事前学習】教科書２の第6章3節を読み，局所双対定理についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 29 |
次数付き環の基礎理論について学修する。
【事前学習】教科書２の第7章1節を読み，次数付き環についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 30 |
これまでの総復習と演習問題
【事前学習】これまでの復習をしながら，テキストの演習問題を解き，発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】これまでの総まとめをし，これからの研究に向けてまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 渡辺敬一（編集：飯高茂・川又雄二郎・森田茂之・谷島賢二） 『環と体 （講座 数学の考え方）』 朝倉書店 2002年 第1版 後藤四郎・渡辺敬一 『可換環論』 日本評論社 2011年 第1版 |
| 参考書 | M.F.Atiyah and I.G.Macdonald, Intprduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969 後藤四郎 『可換環論の勘どころ （数学のかんどころ32）』 共立出版 2017年 第1版 なし |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業参画度(100%) 授業参画度では, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合して評価します. |
| オフィスアワー | 授業前後の時間を含む随時。 |