文理学部シラバスTOP > 文理学部 > 数学科 > 多様体論
日本大学ロゴ

多様体論

このページを印刷する

令和２年度以降入学者 多様体論
令和元年度以前入学者 幾何学特論２
教員名 池田和正
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
授業の形態 対面授業（必要が生じた場合は zoomを用いた同時双方向型授業を組み合わせる）
Blackboard ID 20234330
授業概要 具体例を通じて、幾何学の主要な対象のひとつである多様体の概念を理解する。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
現代数学における幾何学の主な研究対象の一つが「多様体」である。多様体とは、ユークリッド空間内の曲線や曲面の一般化であり, 円周や球面など小学校以来お馴染みの図形が代表例となる。
この講義では、多様体の顕著な例とその性質を理解することを通して多様体の定義とそのように定義する動機を理解することを目標とする。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は, 文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。
なお，この科目は旧カリキュラム（令和元年度以前入学者が対象）においては，文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 講義を中心に、適宜演習テストをおこないます。フィードバック方法については講義内でお知らせします。授業はプリントを配布して、それに沿っておこなうので予習復習をきちんとおこなうこと。予習に関しては授業計画も参照のこと。

対面授業に参加できない事象が生じた場合、担当教員の事前の許可があれば Zoom などにより遠隔参加できることもあります。
授業計画
1 陰関数表示された円周と立体射影(A-3,A-4)
【事前学習】連続写像, 微分可能性の定義を復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】コンパクト性の復習をしておくこと(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
2 パラメーター表示された円周(A-3, A-4)
【事前学習】高校2年で習った三角関数の定義や性質を復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】円周上のいろいろな関数について調べてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
3 リ―群としての円周(A-3, A-4)
【事前学習】大学1年の線形代数で習った行列の積について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】直交変換の性質を復習しておくこと(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
4 球面の立体射影と座標変換(A-3, A-4)
【事前学習】大学2年の集合と位相で習った同相写像について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】球面の種々の表示について調べてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
5 実射影平面と多様体(A-3, A-4)
【事前学習】等化空間,商位相について調べておくこと（A-3） （2時間）
【事後学習】実射影空間の定義と性質を調べてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
6 複素射影直線と多様体(A-3, A-4)
【事前学習】複素関数論で習ったリーマン球面を復習すること(A-3) （2時間）
【事後学習】複素射影直線上のいろいろな複素関数について調べてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
7 複素1次元の複素球面と複素多様体(A-3, A-4)
【事前学習】正則写像について調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】複素1次元の複素球面がどのような形か調べてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
8 中間試験とその解説(A-3, A-4, A-5)
【事前学習】ここまでの授業内容をよく復習しておくこと (A-3, A-4) （2時間）
【事後学習】解けなかった問題があった場合は解き直しておくこと(A-5) （2時間）
【授業形態】対面授業
9 トーラスと多様体(A-3, A-4)
【事前学習】円周の立体射影を確認しておくこと （2時間）
【事後学習】球面の立体射影を２種類計算しておくこと(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
10 可微分多様体と可微分写像
【事前学習】今まで習った具体的な多様体の定義を整理してみること(A-3) （2時間）
【事後学習】2次曲線や2次曲面が多様体であることを確認してみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
11 接ベクトル空間
【事前学習】多変数の微積で習ったヤコビ行列について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな滑らかな写像の微分を計算してみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
12 はめ込み・埋め込み・沈め込み
【事前学習】線形代数で習った行列の階数について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】正則値の原像が多様体であることの復習や, さまざまな写像の臨界点の導出をしてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
13 ベクトル場と積分曲線(A-3, A-4)
【事前学習】括弧積について調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】具体的な積分曲線の計算をしてみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
14 微分形式(A-3,A-4)
【事前学習】多変数の微積で習ったストークスの定理について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】微分形式の計算練習をすること.(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
15 期末試験とその解説(A-5,A-8)
【事前学習】中間からの授業内容をよく復習しておくこと(A-5) （2時間）
【事後学習】解けなかった問題があった場合は解き直しておくこと(A-8) （2時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 使用しない
参考書 藤岡 敦 『具体例から学ぶ多様体』 裳華房 2017年 第4版
松本幸夫 『多様体の基礎 （基礎数学5）』 東京大学出版会 1988年
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:中間試験と期末試験を評価する(66%)、授業参画度:予習状況と理解度, 議論の正確さを評価する(34%)
授業内テストでは復習状況と議論の正確さ, 学修内容の理解度を中心に評価する。
授業内テストを通じて(A-3,A-4)の達成度を評価し, 確認テストを通じて(A-5)の達成度を評価します。
また, 事後学修への取り組みを通じて(A-8)を評価します。
オフィスアワー 授業やその前後に積極的に質問して下さい.

↑このページのトップ