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力学系入門

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令和２年度以降入学者 力学系入門
令和元年度以前入学者 微分方程式論２
教員名 加藤伸幸
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
Blackboard ID 20234328
授業概要 2次元関数の微分方程式である連立微分方程式の解を求め, 更にその挙動を目に見える形(解軌道)で観察する. 特に非線形の微分方程式は決まった解法を持たないために解を記述することが困難であるが, 解の挙動を調べることは可能である. そこで, 線形の連立微分方程式の解軌道について更に詳しく調べ, 非線形の連立微分方程式の解の大域的挙動の観察に応用する.
授業のねらい・到達目標 <授業のねらい>
2次元関数のグラフと1階導関数を物理的に捉えることで, 力学系の概念を身につける. 2次元での議論を理解することで, 高次元空間の問題へ応用できる.

<到達目標>
・連立1階線形微分方程式の解を求めることができる.
・連立1階線形微分方程式の解の挙動を座標平面上で観察することができる.
・連立1階線形微分方程式の安定性について調べることができる.
・非線形の連立1階微分方程式の解軌道を観察することができる.

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は, 文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。
なお，この科目は旧カリキュラム（令和元年度以前入学者が対象）においては，文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応しています。

<日本大学教育憲章との関係>
・自らが獲得してきた数学的知識を基礎とし, その上で既存の知識にとらわれることなく, 数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3).
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し, 専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3).
・新しい問題に取り組む意識を持ち, そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2).
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1).
授業の形式 講義
授業の方法 (1) 講義前日までにBlackboardに配信される講義資料(pdfファイル)を各自で入手しておく．講義終了後，復習用に簡易解説動画が配信される(欠席した場合もこちらを視聴するのがよい).
(2) 原則として各回, レポート課題(講義内容に即した演習問題, 次回の講義に必要な発想でこれまでの学習内容から抜粋)を次回講義前日22:00までにBlackboard内の所定の箇所に提出する. 答案作成にあたっては学生同士で議論してもよい. 採点結果・コメント類は個別にフィードバックされる.
(3) 到達度確認のための授業内試験(3回)を対面で行う.

※ 対面での受講が困難な場合, オンデマンド型教材で学修することができます. 期限内までに講義動画を視聴し, 課題を提出する. 質問はBlackborad内に設置される「質問箱」またはZoomにて受け付ける. Zoomで質問したい場合は事前に電子メールで希望時間を複数挙げること.
授業計画
1 ガイダンス: 微分方程式とその解を力学の問題と結びつける(A-4).
【事前学習】1階常微分方程式の解法について復習する. （1時間）
【事後学習】微分方程式で記述される物理問題を検索する. （1時間）
【授業形態】対面授業
2 消去法によって,「連立1階線形微分方程式」の解を求める(A-3). 行列の指数関数・三角関数を定義する(A-5).
【事前学習】2階定数係数線形微分方程式の解法を復習する. （1時間）
【事後学習】例題を解き直し, 練習問題で計算練習してレポート課題に取り組む. （3時間）
【授業形態】対面授業
3 行列を用いて, 「連立1階線形微分方程式」の解を求める(A-5).
【事前学習】行列の指数関数・三角関数, 2次行列の固有値問題について復習する. （2時間）
【事後学習】例題を解き直し, 練習問題で計算練習してレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
4 連立1階線形微分方程式の係数行列が実固有値を持つ場合の「解軌道」を観察する(A-5).
【事前学習】行列を用いた連立微分方程式の解法, 媒介変数表示された関数のグラフについて復習する. （2時間）
【事後学習】例題を解き直し, 練習問題で計算練習してレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
5 連立1階線形微分方程式の係数行列が虚固有値を持つ場合の「解軌道」を観察する(A-5).
【事前学習】平面上の1次変換としての回転について復習する. （1時間）
【事後学習】例題を解き直し, 練習問題で計算練習してレポート課題に取り組む. （3時間）
【授業形態】対面授業
6 第1回授業内試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第2～5回講義内容を復習する. （5時間）
【事後学習】解答できなかった問題を解き直す. （1時間）
【授業形態】対面授業
7 2次元平面上の「力学系」を定義し, 常微分方程式の解と結びつける(A-5).
【事前学習】多変数関数の偏微分について復習する. （2時間）
【事後学習】講義内容に即したレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
8 「勾配系」と呼ばれる微分方程式とその解の挙動を調べる(A-3).
【事前学習】行列の正定値性・負定値性について復習する. （2時間）
【事後学習】講義内容に即したレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
9 1階連立線形微分方程式の解に含まれる「不動点」を中心とする解軌道によって, 不動点の「安定性」を調べる(A-3).
【事前学習】1階連立線形微分方程式の解軌道について復習する. （2時間）
【事後学習】講義内容に即したレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
10 第2回授業内試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第7～9回の講義内容を中心に復習する. （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題を解き直す. （1時間）
【授業形態】対面授業
11 一般の1階連立微分方程式を局所的に線形近似した「線形化方程式」について, 不動点の安定性を調べる(A-5).
【事前学習】2変数関数のTaylor展開について復習する. （2時間）
【事後学習】講義内容に即したレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
12 一般の1階連立微分方程式の解軌道から「極限周期軌道」を見つける(A-5).
【事前学習】線形化方程式について復習する. （2時間）
【事後学習】講義内容に即したレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
13 パラメータを含む1階連立微分方程式について, パラメータに応じた「不動点」の変化を観察する(A-5).
【事前学習】1階連立微分方程式の不動点について復習する. （2時間）
【事後学習】講義内容に即したレポート課題に取り組む. （2時間）
【授業形態】対面授業
14 第3回授業内試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第11～13回講義内容を復習する. （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題を解き直す. （1時間）
【授業形態】対面授業
15 まとめと補足: 変分問題について軽く触れる.
【事前学習】実関数の極値問題の解法について復習する. （1時間）
【事後学習】偏微分方程式で記述される問題を検索する. （1時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 使用しない
参考書 高橋陽一郎 『力学と微分方程式 （現代数学への入門）』 岩波書店 2004年 第1版
成績評価の方法及び基準 レポート:講義資料に添付された課題を所定の方法で提出する.(30%)、授業内テスト:3回行い, 総合的に評価する.(70%)
介護等体験・体調不良などの正当な理由で
(1) 出席できなかった場合は, Blackboard上に配信される簡易解説動画を視聴することを推奨する.
(2) レポート提出が間に合わなかった場合, 数学科事務室内のレポート提出ボックスに提出してよい.
(3) 試験を受けられなかった場合は追加受験を受け付ける. 学内受験を原則とするが, Zoomを用いて行うこともある.

A-3, A-4の達成度は授業内試験の答案で評価する. A-5は各回のレポート課題の答案で評価する.
オフィスアワー 水曜日2・3限 本館5F 非常勤講師オフィスアワー室, またはBlackboardに設置される「第x回 質問箱」(x=1～14)にて

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