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基礎数理特別研究Ⅱ
| 令和２年度以降入学者 | 基礎数理特別研究Ⅱ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 山浦義彦 | ||||
| 単位数 | 4 | 課程 | 開講区分 | 文理学部 | |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 通年 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業の形態 | 対面授業 (遠隔希望の場合は Zoom 参加可能) Blackboard のコース ID : 20227160 2022基礎数理特別研究Ⅱ（山浦義彦・通・水４） |
|---|---|
| 授業概要 | 関数解析学の基礎を学ぶ. 関数空間とは関数の集合に, 位相と呼ばれる収束概念の基盤となる 概念を導入することによって定義されることを学ぶ. さらに, 関数空間の諸性質を理解し, 特に コンパクト性について詳しく理解する. |
| 授業のねらい・到達目標 | 関数空間の基本的性質を理解することができる。 特に, 関数空間上で定義される汎関数についての議論は, 変分学の基礎となるため 汎関数に関する定理を深く理解することができる。 |
| 授業の方法 | 授業の形式【研究】 少人数のゼミ形式の講義である. 毎回の講義内容について学生に自分の 勉強成果をホワイトボードを用いて, 口頭発表してもらう. その際に, 理解が不十分な点を指摘したり, 問題を出題したりする. また修士論文作成に向けたアドバイスを随時行う. |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
距離空間の復習 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】距離空間の定義を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】距離空間における位相について総括する. （４時間） |
| 2 |
連続写像 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】連続性の定義を確認しておくこと. （４時間） 【事後学習】関数列の収束について理解すること. （４時間） |
| 3 |
直積位相の生成 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】位相の生成方法を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】直積位相の定義と導入方法をまとめること. （４時間） |
| 4 |
コンパクト性 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】コンパクト性の定義を復習すること. （４時間） 【事後学習】可算コンパクト, 相対コンパクトについて総括する. （４時間） |
| 5 |
連結性 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】ノルム空間について復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】ノルム空間の例と完備化について理解すること. （４時間） |
| 6 |
連続関数空間 【対面, 遠隔いずれにも対応】】 【事前学習】アスコリ-アルツェラの定理を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】ストーンワイエルシュトラスの定理を理解すること. （４時間） |
| 7 |
ノルム空間 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】ノルム空間について復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】ノルム空間の例と完備化について理解すること. （４時間） |
| 8 |
連続関数空間 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】アスコリ-アルツェラの定理を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】ストーンワイエルシュトラスの定理を理解すること. （４時間） |
| 9 |
ヒルベルト空間 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】内積の公理を理解しておくこと. （４時間） 【事後学習】ヒルベルト空間の定義と性質を理解すること. （４時間） |
| 10 |
局所凸線形位相空間 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】近傍系の定義を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】位相導入方法を理解すること. （４時間） |
| 11 |
連続線形作用素 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】有限次元線形空間上の線形写像の定義を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】線形作用素に対する有界性と連続性が同値であることを理解すること. （４時間） |
| 12 |
線形汎関数とリースの表現定理 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】線形汎関数の定義を理解しておくこと. （４時間） 【事後学習】リースの表現定理を直観的に理解すること. （４時間） |
| 13 |
ハーン・バナッハの定理 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】連続線形汎関数の概念を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】弱収束を理解し, 強収束との関係を理解すること. （４時間） |
| 14 |
弱収束とスター弱収束 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】連続線形汎関数の概念を復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】弱収束を理解し, 強収束との関係を理解すること. （４時間） |
| 15 |
バナッハ・シュタインハウスの定理 【対面, 遠隔いずれにも対応】 【事前学習】シュワルツの不等式を理解しておくこと. （４時間） 【事後学習】バナッハ・シュタインハウスの定理の証明を理解すること. （４時間） |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 宮寺功 『関数解析』 筑摩書房 |
| 参考書 | 使用しない |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業参画度(100%) 授業参画度とは, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合評価することを意味します. また, 毎回のアドバイスを素直に受け入れ次回の発表で活かし自分の力を伸ばす努力を 勘案して評価します. |
| オフィスアワー | 木曜日3限 メールや Blackboard でも質問を受け付けます. |
| 備考 | 「事前学習・事後学習」に関する学習時間は目安です. |