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基礎数理特別研究Ⅰ
| 令和２年度以降入学者 | 基礎数理特別研究Ⅰ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 市原一裕 | ||||
| 単位数 | 4 | 課程 | 開講区分 | 文理学部 | |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 通年 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業の形態 | 対面形式 Blackboard のコース ID :20227157 2022基礎数理特別研究Ⅰ（市原一裕・通・月５） |
|---|---|
| 授業概要 | 今後，研究を進める位相幾何学の基礎的な対象となる微分可能多様体の定義と基礎的な性質を学ぶ. |
| 授業のねらい・到達目標 | 微分可能多様体の定義を理解し，自分の言葉で説明できるようになる。 多様体論の基礎的な用語（微分可能写像，接ベクトル・接空間，はめ込みと埋め込み，ベクトル場，微分形式）を理解し，今後の研究の中で使えるようにする。 |
| 授業の方法 | 授業の形式【研究】 少人数のゼミ形式の講義である。 自らテキストを読み，その自分の学修成果を口頭発表する. 発表内容についての議論の中で，理解を深め，自らの研究に活かせるようにする。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
多次元数空間，ベクトル空間，線形写像について復習を行いながら学ぶ。
【事前学習】これまで学んできた線形代数の諸定義について復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直しておく。 （４時間） |
| 2 |
連続写像とCʳ級写像，位相空間について，復習を行いながら学ぶ。
【事前学習】これまで学んできた微分積分学，幾何学の諸定義について復習しておくこと. （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 3 |
多様体の定義と多様体上のCˢ級関数とCˢ級写像について学ぶ。
【事前学習】テキストの第2章の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 4 |
接ベクトル空間と多様体上のCʳ級写像の微分について学ぶ。
【事前学習】テキストの第3章の前半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 5 |
写像の局所的性質と多様体の例としての射影空間について学ぶ。
【事前学習】テキストの第3章の後半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 6 |
多様体のはめ込み・埋め込みと埋め込み定理について学ぶ。
【事前学習】テキストの第4章の前半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 7 |
ここまでの復習とまとめ（１）
【事前学習】ここまでの復習をし，十分に理解できているか確認しておく。 （４時間） 【事後学習】質疑応答や議論をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 8 |
1の分割と写像の正則点と臨界点について学ぶ。
【事前学習】テキストの第4章の後半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 9 |
多様体上のベクトル場と積分曲線について学ぶ。
【事前学習】テキストの第5章の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 10 |
多様体上の微分形式について学ぶ。
【事前学習】テキストの第6章の前半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 11 |
微分形式の外微分とストークスの定理について学ぶ。
【事前学習】テキストの第6章の後半の内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 12 |
ここまでの復習とまとめ（２）
【事前学習】ここまでの復習をし，十分に理解できているか確認しておく。 （４時間） 【事後学習】質疑応答や議論をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 13 |
Dₚʳ (M)とTₚ (M)の関係について学ぶ。
【事前学習】テキストの付録Aの内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 14 |
2次元射影平面が3次元ユークリッド空間に埋め込めないことの証明について学ぶ。
【事前学習】テキストの付録Bの内容をまとめ，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （４時間） |
| 15 |
これまでの総復習と演習問題
【事前学習】これまでの復習をしながら，テキストの演習問題を解き，発表の準備をしておく。 （４時間） 【事後学習】これまでの総まとめをし，これからの研究に向けてまとめ直す。 （４時間） |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 松本幸夫 『多様体の基礎』 東京大学出版会 1988年 |
| 参考書 | なし |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業参画度(100%) 授業参画度では, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合して評価します. |
| オフィスアワー | 授業前後の時間を含む随時。 |