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グラフ理論

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令和元年度以前入学者 グラフ理論
教員名 齋藤明
単位数    2 学年    2 開講区分 文理学部
科目群 情報科学科
学期 後期 履修区分 選択必修
授業の形態 対面授業
BlackBoard コースID: 20224403
授業概要 駅にある路線図やコンピュータネットワークのように、点が線で結ばれたものをグラフとよぶ。グラフは情報科学の様々な局面で現れる重要な概念である。この講義では、グラフに関する様々な話題を取り上げ解説する。あまり理論に深入りせず、工学的な応用に重点を置く。
授業のねらい・到達目標 ・グラフ理論の基礎的な諸概念と代表的なアルゴリズムを理解し、運用することができる。
・連結性の概念を理解し、応用することができる
・連結度の概念を把握できる。
・最短路問題、ネットワークフローの問題を解くことができる。

この科目は文理学部(学士(理学))のディプロマポリシーDP3及びカリキュラムポリシーCP3に対応している。
授業の方法 (1) 授業の形式：【 講義 】
板書とスライドにより基本事項を説明する。また適宜授業内課題を与える。与えた課題については、講義時間内に解説を行う。

(2) 対面授業に参加できない学生への代替方法、要件
対面授業に参加できない場合、以下の要件を満たす学生は、別途実施するオンライン授業（Zoom）への参加を認める。
オンライン授業への参加を認める要件：学部の方針に従う。
オンライン授業の方法：予め授業資料を渡し、対面授業とは別の時間枠で反転授業を行う。授業時間は受講者との協議の上で決めていく。
授業計画
1 グラフ理論への興味を持ってもらうため、パズルを２題ほど出題し、グラフを用いてそれらを解いてみる。
【事前学習】インターネットなどで「グラフ」という言葉の使われ方を調べる。 （1時間）
【事後学習】演習問題プリントの1番（握手問題の発展）を解く。 （3時間）
2 グラフの定義と基本的な用語を学ぶ。頂点、辺、同形といった概念を学習する。
【事前学習】教科書８～12ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの5番（グラフの位数）を解く、 （3時間）
3 近傍と次数の概念を学ぶ。また握手定理とその証明を学ぶ。
【事前学習】教科書 13～19 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの14番（次数列判定の計算問題）を解く。 （3時間）
4 次数列の概念と、その判定方法である Havel-Hakimi の定理を学ぶ。
【事前学習】教科書 19～26 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの15番（次数列の応用問題）を解く。 （3時間）
5 道、閉路といった概念を学ぶ。またグラフの連結性の概念を学習し、連結グラフの性質を調べる。【対面】
【事前学習】教科書 33～35 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの19番（連結性の概念）を解く。 （3時間）
6 グラフの連結度、辺連結度の概念を学ぶ。特に連結度、辺連結度、最小次数に関する不等式を学習する。
【事前学習】教科書 35～40 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの27番（連結度に関する問題）を解く。 （3時間）
7 グラフの最短路問題と、その解法であるダイクストラ法を学ぶ。（オンデマンド型）
【事前学習】教科書 40～44 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの31番（ダイクストラ法の計算問題）を解く。 （3時間）
8 第１回～第７回の内容に関する総合演習を行う。初めにテスト形式で演習を解いた後に、問題に対する解説を行う。
【事前学習】これまでに配布した演習の中で間違えたもの、理解不足を感じたものを解き直す。 （3時間）
【事後学習】講義の解説に従って、演習問題で間違えたもの、理解不足を感じたものを解き直す。 （1時間）
9 木の定義を学び、その性質を調べる。またグラフの直径、半径、中心等の概念を学ぶ。
【事前学習】教科書 58～64 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの34番（木とグラフの直径、半径に関する問題）を解く。 （3時間）
10 探索木の概念を学び、深さ優先探索のアルゴリズムを学ぶ。【対面】(A-5-2)
【事前学習】教科書 71～81 ページを読み、理解できなかった部分をチェックする。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの34番（全域木を求める問題）を解く。 （3時間）
11 ネットワークフローを学ぶ。特にネットワークの最大流と最小カットの定義を学習する。
【事前学習】教科書 116～121 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの34番（最大流を求める問題）を解く。 （3時間）
12 最大流、最小カットを求めるアルゴリズムを学ぶ。
【事前学習】教科書 122～125 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの35番（最大流を求める問題）を解く。 （3時間）
13 グラフの平面性の概念を学び、オイラーの公式を学習する。
【事前学習】教科書 85～95 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの35番（オイラーの公式）を解く。 （3時間）
14 グラフの彩色を学ぶ。Brooks の定理とその証明に現れる彩色アルゴリズムの理解を目指す。
【事前学習】教科書 99～105 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （1時間）
【事後学習】演習プリントの37番（Brooksの定理）を解く。 （3時間）
15 グラフの辺彩色を学ぶ。Vizing の定理とその証明に現れるアルゴリズムの理解を目指す。
【事前学習】教科書 106～113 ページを読み、理解できなかった部分をノートに書き出しておく。 （2時間）
【事後学習】演習プリントの39番（Vizingの定理）を解く。 （2時間）
その他
教科書 なし
参考書 加納幹雄 『情報科学のためのグラフ理論』 朝倉書店 2001年 第1版
成績評価の方法及び基準 試験(50%)、授業内テスト:第８回で実施する総合演習(20%)、毎回課す授業外演習の提出状況と内容(30%)
試験は15回の講義が全て終了した後に、独自に日時を設けて対面で試験を行う。その結果と第８回総合演習、授業外演習の提出状況・内容を元に評価する。
対面の試験を受験できない学生については、別途オンライン試験を実施する。オンライン試験の内容は対面で行う試験の内容と異なる。
オフィスアワー 毎週火曜日 12:20～13:00 に研究室で行う。またメール（saitou.akira@nihon-u.ac.jp）での質疑応答も受け付ける。
備考 演習プリントは毎年バージョンアップしている。授業計画の[事後学習]に挙げている演習プリントの番号は2021年度版に基づいているが、バージョンアップにより番号が変わることがある。その場合適宜およびBlackBoardにて周知する。

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