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多様体論

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令和２年度以降入学者 多様体論
令和元年度以前入学者 幾何学特論２
教員名 大野晋司
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業の形態 対面授業（必要に応じてzoomを用いた同時双方向型授業を組み合わせる）
BlackboardのコースID:20224361
2022多様体論／幾何学特論２（大野晋司・後・水５）
授業概要 具体例を通じて、幾何学の主要な対象のひとつである多様体の概念を理解する。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
現代数学における幾何学の主な研究対象の一つが「多様体」である。多様体とは、ユークリッド空間内の曲線や曲面の一般化である。しかしながらその定義は簡単に理解できるものではない。
この講義では、多様体の顕著な例とその性質を理解することを通して多様体の定義とそのように定義する動機を理解することを目標とする。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は, 文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。
なお，この科目は旧カリキュラム（令和元年度以前入学者が対象）においては，文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 授業の形式【講義】
①不定期にレポート課題を課すので, 指定された期日までに解いてBlackboardを通じて提出する.
②課題の採点結果はBlackboardを通じて共有する.
③授業の前後またはBlackboardのメール機能を通じて質問の機会を設ける.
④講義の理解度を確認するために, 中間レポート, 期末レポートを実施する.

対面授業に参加できない場合は，教員の許可を得て zoom にて参加することができます。
zoomにて参加を希望する場合は事前に教員へ連絡し許可を得てください。
授業前日までにzoomでの参加希望がない場合はzoomの配信を行いません。
授業計画
1 授業概要の説明
【事前学習】線型代数について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】開集合の定義と基本的な性質を調べておくこと （2時間）
2 位相、同値関係について学修する。
【事前学習】群の定義を調べておくこと （2時間）
【事後学習】2点集合の位相を全て挙げられるようにしておくこと(A-4) （2時間）
3 円周と立体射影について学修する。
【事前学習】三角関数について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】写像の逆像の定義を復習しておくこと(A-4) （2時間）
4 座標変換について学修する。
【事前学習】合成写像について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】合成写像の微分について調べておくこと(A-4) （2時間）
5 同相写像について学修する。
【事前学習】連続写像の定義を確認しておくこと （2時間）
【事後学習】群の定義を確認しておくこと(A-4) （2時間）
6 コンパクト性、連結性について学修する。
【事前学習】コンパクト性の定義を確認しておくこと （2時間）
【事後学習】連結な集合の例を3つ挙げられるようにしておくこと(A-4) （2時間）
7 双曲線、双曲線関数について学修する。
【事前学習】双曲線の定義を確認しておくこと （2時間）
【事後学習】双曲線関数の加法定理を確認すること(A-4) （2時間）
8 中間レポートとその解説(A-3,A-4,A-5)
【事前学習】ここまでの授業内容をよく復習しておくこと (A-8) （2時間）
【事後学習】解けなかった問題があった場合は解き直しておくこと(A-8) （2時間）
9 球面と立体射影について学修する。
【事前学習】円周の立体射影を確認しておくこと （2時間）
【事後学習】球面の立体射影を２種類計算しておくこと(A-4) （2時間）
10 座標変換について学修する。
【事前学習】1変数の座標変換を復習しておくこと （2時間）
【事後学習】２種類の立体射影について、座標変換を計算しておくこと(A-4) （2時間）
11 微分同相写像について学修する。
【事前学習】同相写像の定義を確認しておくこと （2時間）
【事後学習】２変数の逆関数定理を調べておくこと(A-4) （2時間）
12 ２次超曲面について学修する。
【事前学習】対称行列の対角化について調べておくこと （2時間）
【事後学習】3次の対称行列について対角化をできるようにしておくこと(A-4) （2時間）
13 径数付き部分多様体について学修する。
【事前学習】行列の階数について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】径数付き曲面の例をひとつ作ること(A-4) （2時間）
14 陰関数定理について学修する。
【事前学習】２変数の陰関数の定理を調べておくこと （2時間）
【事後学習】陰関数定理を用いて径数付き部分多様体の例をひとつ作ること(A-4) （2時間）
15 期末レポートと一般の多様体についての解説
【事前学習】ここまでの授業内容をよく復習しておくこと(A-8) （2時間）
【事後学習】解けなかった問題があった場合は解き直しておくこと(A-8) （2時間）
その他
教科書 藤岡 敦 『具体例から学ぶ多様体』 裳華房 2017年 第4版
参考書 なし
成績評価の方法及び基準 レポート(100%)
レポート，授業内テストそれぞれは議論の正確さと学修内容の理解度を中心に評価する。
授業参画度はリアクションペーパー等で評価する。遠隔参加でも対面参加と同様に評価する。
授業内テストを通じて(A-3,A-4)の達成度を評価し, 確認テストを通じて(A-5)の達成度を評価します。
また, 事後学修への取り組みを通じて(A-8)を評価します。
オフィスアワー 授業の前後、またメールを用いて随時行う。

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