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ホモロジー論

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令和２年度以降入学者 ホモロジー論
令和元年度以前入学者 代数学特論２
教員名 下元数馬
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業の形態 対面授業(状況に応じて遠隔授業との併用で進める)
Blackboard のコースID:20224360
2022ホモロジー論／代数学特論２（下元数馬・後・木２）
授業概要 最初に環とイデアルついて復習を行い、環上の加群とは何かについて説明する。ホモロジー代数とネーター環への応用について学ぶ。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
環上の加群はベクトル空間の自然な拡張であり、どの様な数学を学ぶにしても知っておくべき内容と考えられる。ホモロジー代数は位相幾何学でも扱われるので幾何学に関心がある学生の受講も歓迎する。代数学は言語としての性格を持ち合わせており、抽象的な内容を具体例を通じて理解する事が肝要である。
・代数学の抽象的な内容を具体例を通して説明できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は, 文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。
なお，この科目は旧カリキュラム（令和元年度以前入学者が対象）においては，文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 授業の形式【講義】
授業の内容がレポート課題につながるので丁寧にノートをとり予習復習すること。
提出や教材の受け渡しは主にBlackboardを通じて行う。課題の提出方法については授業内で告知する。
レポートについては添削して指導する。
対面授業に参加できない場合は、担当教員に事前に許可を得てください。
その場合には、Zoom などにより参加してもらうことを検討していますが、オンデマンド教材を配信することもあります。
授業計画
1 環とイデアル（１）環の例とイデアル (A-3,A-4)
【事前学習】環とイデアルについて復習しておくこと （2時間）
【事後学習】ノートを整理しておくこと （2時間）
2 環とイデアル（２）準同型写像 (A-3,A-4)
【事前学習】準同型写像について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
3 素イデアルと極大イデアル (A-3,A-4)
【事前学習】前回ノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
4 環上の加群（１）構成法 (A-3,A-4)
【事前学習】商集合について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
5 環上の加群（２）加群の準同型定理 (A-3,A-4)
【事前学習】前回のノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
6 環上の加群（３）加群の完全系列 (A-3,A-4)
【事前学習】前回のノート復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
7 環上の加群（４）複体とホモロジー (A-3,A-4,A-5)
【事前学習】前回のノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
8 テンソル積（１）多重線形写像を用いた構成法 (A-3,A-4)
【事前学習】線形代数の復習をしておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
9 テンソル積（２）テンソル積の性質 (A-3,A-4,A-5)
【事前学習】前回のノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】次元公式の証明に関連するレポート課題をとくこと （2時間）
10 Hom（1）構成法 (A-3,A-4)
【事前学習】線形代数について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
11 Hom（２）テンソル積との関係 (A-3,A-4,A-5)
【事前学習】前回のノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
12 ネーター環論（１）定義と動機 (A-3,A-4)
【事前学習】環について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
13 ネーター環論（２）多項式環 (A-3,A-4)
【事前学習】前回のノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
14 ネーター環論（３）Hilbertの基底定理 (A-3,A-4,A-5)
【事前学習】前回のノートを復習しておくこと （2時間）
【事後学習】これまでの学習内容を整理しておくこと （2時間）
15 まとめ（課題研究）(A-8)
【事前学習】課題学習に向けて準備を行うこと （2時間）
【事後学習】課題学習の疑問点についてまとめること （2時間）
その他
教科書 教科書は特に指定しない。
参考書 堀田 良之 『代数入門(新装版): 群と加群  （数学シリーズ）』 裳華房 2021年
川口周 『代数学入門  （日評ベーシック・シリーズ）』 日本評論社 2017年 第1版
代数学を学ぶコツは、定義や定理をそのまま追うだけでなく、具体例を沢山作って自分で確かめることである。参考書はそのための補助となる。
成績評価の方法及び基準 レポート:課題の正確さなどを評価する。(70%)、授業参画度:授業の取り組み方により評価する。(30%)
授業内で扱えなかった問題をレポート課題として出す。遠隔参加でも対面参加と同様に評価する。
オフィスアワー 授業内で告知する。またメールによる質問の歓迎する。
備考 Blackboardにおいて必要な教材を配布する。但し、課題の提出方法については授業内で告知する。

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