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解析学特論Ⅰ

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令和２年度以降入学者 解析学特論Ⅰ
令和元年度以前入学者 解析学特論Ⅰ
教員名 加藤伸幸
単位数    2 課程 前期課程 開講区分 文理学部
科目群 地球情報数理科学専攻
学期 前期 履修区分 選択必修
授業の形態 同時双方型授業（Zoomによるライブ配信）
Blackboard のコースID:20214063
授業概要 放物型偏微分方程式の解の構成を念頭に，まず同方程式を時間変数に関して差分化した方程式に対応する変分汎関数の最小化関数の列を用いて近似解を構成する離散Morse流法について解説し，その近似解の正則性について議論する．
授業のねらい・到達目標 熱方程式を例として，本科目で取り上げる離散Morse流法によって構成した近似解がMorrey/Campanato空間を土台として差分近似と無関係な正則性を持つことを導くことができる。
授業の方法 授業の形式【講義】
同時双方向型：各回，Zoomを通じてBlackboardに配信された講義資料のうち，該当する箇所を解説し，受講者間を含めた質疑応答や意見交換を行う．
レポート課題：講義資料に挿入されている「問題」を解答する．答案は原則LaTeXで作成する．提出されたレポートは添削して返却し，授業中に意見交換する．
履修条件 特になし
授業計画
1 ライブ配信：Sobolev空間の基礎
【事前学習】多変数関数の微分積分全般を復習する． （4時間）
【事後学習】Sobolev空間について，理解できていない項目を調べる． （2時間）
2 ライブ配信：Morrey空間とCampanato空間
【事前学習】Lebesgue空間について復習する． （2時間）
【事後学習】講義内容を振り返り，そこで使われている実解析の内容が説明できるようにする． （2時間）
3 ライブ配信：Campanato空間とHölder空間
【事前学習】Hölder連続性について復習する． （2時間）
【事後学習】講義内容を振り返り，そこで使われている実解析の内容が説明できるようにする． （2時間）
4 ライブ配信：離散Morse流の構成
【事前学習】Youngの不等式，上限と下限，コンパクト性について復習する． （2時間）
【事後学習】講義内容を振り返り，事前学習内容がどのように使われているかを整理し，説明できるようにする． （2時間）
5 ライブ配信：離散Morse流の基本評価
【事前学習】変分汎関数とその最小化関数がどのように利用されるかを予測する． （2時間）
【事後学習】講義内容と事前の予測を比較し，汎関数の最小性がどのように適用されているかを説明できるようにする． （2時間）
6 ライブ配信：離散Morse流の極限移行
【事前学習】ノルム空間の弱コンパクト性，Rellich-Kondrachovのコンパクト性定理，Ascoli-Arzelàの定理について復習する． （2時間）
【事後学習】講義内容を振り返り，事前学習内容がどのように使われているかを整理し，説明できるようにする． （2時間）
7 ライブ配信：Caccioppoliの不等式(1): 近似幅が小さい場合
【事前学習】多変数関数の部分積分，楕円型偏微分方程式の解の正則性 （2時間）
【事後学習】講義内容と振り返り，理解できていない実解析の内容を項目ごとに列挙する． （2時間）
8 ライブ配信：Caccioppoliの不等式(2): 近似幅が大きい場合
【事前学習】近似幅が大きくなるとどのような不都合が生じるかを予測する． （2時間）
【事後学習】講義内容と事前の予測を比較し，計算内容を説明できるようにする． （2時間）
9 ライブ配信：Campanato評価(1): 近似幅が小さい場合
【事前学習】Sobolevの埋蔵定理を復習し，第7回でのCaccioppoliの不等式がどのように適用されるかを予測する． （2時間）
【事後学習】講義内容と事前の予測を比較し，計算内容を説明できるようにする． （2時間）
10 ライブ配信：Campanato評価(2): 近似幅が大きい場合
【事前学習】Sobolevの埋蔵定理を復習し，第8回でのCaccioppoliの不等式がどのように適用されるかを予測する． （2時間）
【事後学習】講義内容と事前の予測を比較し，計算内容を説明できるようにする． （2時間）
11 ライブ配信：離散Morse流の正則性解析(1): 離散Morrey空間での定性的評価
【事前学習】Morrey空間について復習し，Campanato評価(第9～10回)からどのように議論が進むかを予測する． （2時間）
【事後学習】講義内容と事前の予測を比較し，そこでの議論の展開を説明できるようにする． （2時間）
12 ライブ配信：離散Morse流の正則性解析(2): 離散Morrey空間での定量的評価
【事前学習】通常のMorrey空間と離散Morrey空間の違いを整理しておく． （2時間）
【事後学習】講義内容を振り返り，第11回の定性的評価の必要性を説明できるようにする． （2時間）
13 ライブ配信：離散Morse流の正則性解析(3): 近似解のHölder連続性
【事前学習】Campanato空間とMorrey空間の定義の違いとPoincaréの不等式について復習する． （2時間）
【事後学習】講義内容を振り返り，得られた評価式を第3回講義内容に当てはめる． （2時間）
14 ライブ配信：離散Morse流の正則性解析(4): 近似解の極限移行と熱方程式の弱解の正則性
【事前学習】第6回で行った極限移行との相違点を予測する． （2時間）
【事後学習】近似解の構成から正則性解析までの一連のストーリーを説明できるようにする． （2時間）
15 ライブ配信：まとめと総括: 主要項に係数が付いた発散形式の放物型偏微分方程式への適用
【事前学習】本科目の講義に関連する論文(修士論文を含む)を検索する． （2時間）
その他
教科書 使用しない．Blackboard上に講義資料を配信する．
参考書 適宜，論文を紹介する．
成績評価の方法及び基準 レポート(20%)、授業参画度(80%)
授業参画度：ライブ配信中の意見交換で評価する．
レポート：配布された資料に挿入されている「問題」への解答状況で評価する．
オフィスアワー Zoom中継中，またはBlackboard内の掲示板で受け付ける．

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