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微分方程式論１

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令和元年度以前入学者 微分方程式論１
教員名 加藤伸幸
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業の形態 オンデマンド型授業12回と同時双方向型授業3回の組み合わせ．
Blackboard のコースID：20212919
授業概要 未知関数（陰関数を含む）とその導関数の間に成り立つ方程式を微分方程式といい，特に1変数関数が満たす微分方程式を「常」微分方程式という．導関数が含まれている点からも，単なる式変形だけでなく，方程式全体を積分することが要求されるため，2年次までに学習した微積分学の学習内容が必要となる．
本科目では，2階までの導関数を含む微分方程式を構造別に取り上げ，その解法を修得する．
授業のねらい・到達目標 ・1階導関数を含む微分方程式について，微分積分学（2変数関数を含む）の学習内容を用いて解を求めることができる．
・2階までの導関数を含む微分方程式のうち，定数が係数であり，かつ独立変数を含まない方程式を簡易な手法で解くことができる．
・2階までの導関数を含み，独立変数を係数に持つ微分方程式のうち，簡易な手法で解けるものを解くことができる．
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3, DP6 及びカリキュラムポリシー CP1, CP9 に対応している．

なお、新カリキュラム（令和２年度以降の入学者）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応している．
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし，その上で既存の知識にとらわれることなく，数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)．
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)．
・新しい問題に取り組む意識を持ち，そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)．
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 授業の形式【講義】
オンデマンド型：Blackboard上に配信される講義資料（pdfファイル）と簡易解説動画によって各自のペースで学修を進める．
レポート課題：原則として各回，講義資料に添付されたレポート課題（講義内容に即した演習問題，次回の講義に必要な発想でこれまでの学習内容から抜粋）を所定の方法で提出（期限は翌配信日10:30）する．学生同士で議論してよい．提出されたレポートは採点後，Blackboard上で返却する．提出期限後に解答例をBlackboard上に提示するので，各自の答案と比較するとよい．
同時双方向型：3回行われる授業内試験は，Zoomを通じて不正行為が起こらないよう監視（試験中のみ）する．実施日を告知した上で，当日に試験問題を配信する．答案は所定の答案用紙に記入し，pdf形式でBlackboard上の指定された箇所に提出する．追加受験が終わり次第，解答例を提示する．
履修条件 なし
授業計画
1 オンデマンド型：微分方程式とは何かを，簡単な例を挙げながら説明し，用語や記号類を取り上げる(A-4, A-5)．
【事前学習】シラバスの内容を理解する． （1時間）
【事後学習】絶対値付きの等式の同値変形，指数・対数法則，および1年次までに学習した不定積分を復習しておく． （3時間）
2 オンデマンド型：「変数分離形」に分類される微分方程式の解を求める(A-4, A-5)．
【事前学習】第1回で課されたレポート課題の内容理解と，分数式の変形および積分の計算練習をする． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組み． （3時間）
3 オンデマンド型：「同次形」に分類される微分方程式の解を求める(A-5)．
【事前学習】変数分離形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
4 オンデマンド型：「1階線形微分方程式」に分類される微分方程式の解を求める(A-4, A-5)．
【事前学習】変数分離形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
5 同時双方向型：第1回授業内試験とその解説(A-3, A-4)
【事前学習】試験範囲である第1回～第4回講義内容を復習する． （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題の内容について復習する． （1時間）
6 オンデマンド型：「Bernoulli形」に分類される微分方程式の解を求める(A-5)．
【事前学習】1階線形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
7 オンデマンド型：「完全微分方程式」に分類される微分方程式の解を求める(A-4, A-5)．
【事前学習】2変数関数の偏微分と全微分について復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
8 オンデマンド型：「2階定数係数線形微分方程式」について，「論理的な解法」を取り上げる一方，方程式の構造に着目して「一般解の構造とそれを成す基底の1次独立性」を議論する(A-3, A-5)．
【事前学習】1階線形微分方程式，ベクトルの1次独立性，行列式の計算，2次方程式の解について復習する． （2時間）
【事後学習】論理的な解法について，その具体例をレポート課題として解く． （2時間）
9 オンデマンド型：「2階定数係数線形微分方程式」のうち，「斉次形」に分類される微分方程式の解を求める(A-3)．
【事前学習】斉次系方程式の一般解の構造を整理する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
10 同時双方向型：第2回授業内試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第6回～第9回講義内容を復習する． （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題の内容について復習する(A-8)． （1時間）
11 オンデマンド型：「2階定数係数線形微分方程式」のうち，「非斉次形」に分類される微分方程式の一般解の構造を学び，「非斉次項が多項式」の時の「特殊解」を求める(A-3, A-5)．
【事前学習】恒等式と未定係数法について復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
12 オンデマンド型：「非斉次形」に分類される「2階定数係数線形微分方程式」のうち，「非斉次項が指数関数／三角関数」の場合の「特殊解」を求める(A-5)．
【事前学習】斉次形方程式の一般解，Leibnizの公式，および恒等式と未定係数法について復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
13 オンデマンド型：「2階変数係数線形微分方程式」のうち，「Cauchy-Eulerの微分方程式」に分類される微分方程式の解を求める(A-5)．
【事前学習】合成関数の微分(2階まで)と，2階定数係数線形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習する． （2時間）
14 同時双方向型：第3回授業内試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第10回～第13回講義内容を復習する． （5時間）
【事後学習】解答できなかった問題の内容について復習する． （1時間）
15 オンデマンド型：本科目で取り上げなかった微分方程式を紹介する．
【事前学習】これまでの講義内容を復習しておく(A-8)． （1時間）
【事後学習】後期科目「微分方程式論2」に向けて，講義全体の内容を整理する(A-8)． （1時間）
その他
教科書 使用しない. Blackboard上に講義プリントとその解説動画を配信する．
参考書 森真 『自然現象から学ぶ微分方程式』 共立出版 2016年 第1版
常微分方程式に関する入門書は数多く出版されています. 図書館などで拾い読みしてみて, 各自の肌に合った一冊を手元に持っておくといいでしょう.
成績評価の方法及び基準 レポート(30%)、授業内テスト(70%)
レポート：講義資料に添付されたレポート課題を所定の方法で提出することで成績を付ける．
授業内試験：3回とも持込不可．各微分方程式の解法を理解した上で「具体的な問題にきちんと適用できている」かを評価する．
各回，出欠を確認するが，これは成績に加味されず，状況によっては救済の対象から外れる．また，教職関係，体調不良等でレポート課題の提出が間に合わない場合は，その証拠と併せて提出してよい．レポート課題，授業内試験は理由の如何に関係なく免除しない．
A-3,A-4の達成度については答案を通して評価する。A-5については各回の取り組みの姿勢で評価する。
A-8についてはノートの整理状況を通して評価する。
オフィスアワー Blackboard上の掲示板内のフォーラム「第x回 質問箱」(x=1～15),またはZoom上で学習内容に関する質問を受け付ける（授業内試験の回を除く）．

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