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離散数学

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令和元年度以前入学者 離散数学
教員名 吉田健一
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業の形態 オンデマンド型授業（15回)+同時双方向型授業(14回)
Blackboard のコースID：20212918
授業概要 離散数学は，グラフなどの離散的なデータ（飛び飛びであって、連続的でないもの）を取り扱う数学である. ここでは，初等整数論・グラフ理論・集合と論理などから選ばれた題材を学修する.
授業のねらい・到達目標 この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3, DP6 及びカリキュラムポリシーCP1, CP9 に対応しています.
連続的でないデータを取り扱う数学は馴染みがなく，苦手な学生が多い. そこで，身近で興味深い対象への考察などを通して離散数学の間隔を身に着けることがこの授業のねらいである. また，以下を到達目標とする.
・フィボナッチ数やカタラン数などの数学的な意味を説明できる.
・グラフ理論の基礎を習得し，一筆書き，四色問題，正多面体の分類などをグラフの言葉で説明できる.
・身近な現象から数学的な問題を取り出す方法を身に着ける.

お，新カリキュラム（令和2年度以降入学者対象）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,8に対応している。
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)
授業の方法 授業の形式【講義】
①水曜日４限までに Blacklboard を通じて配信されたスライド教材とその説明用動画が配信されるので, 事前に学修しておく.
②水曜日５限にZoom(同時双方向型授業, 30分～40分)にて簡単な解説が行われる.
※出席できなかった場合はZoom の動画を視聴し，1ページ未満のまとめノートを提出してもよい.
③各回の配信教材の最後につけられた宿題を解き, 指定された期日までに解いて提出する.
宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出してよい.
④宿題の解答は締め切り後に配信される. また，採点結果は One Drive を通じて共有されるので, 受講生各自が確認をすることができる.
⑤Blackboard のメールを通して, 質問の機会を設ける. ３回に１回程度、受講生間のやり取り用の時間を設ける.
⑥到達度を確認するために，レポート提出を２回行う.
授業計画
1 ピタゴラス数: ガイダンスとして，Zoom にて, 授業の受講方法と成績について説明する.
「すべてのピタゴラス数の求め方」を学修する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】三角比と三平方の定理（高校数学）について復習しておく. （2時間）
【事後学習】第１回宿題を通して, ピタゴラス数の例を具体的にたくさん作る. （2時間）
2 フィボナッチ数列：フィボナッチ数列と黄金比について学修する.【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】３項間漸化式の求め方（高校数学，空間論）を復習しておく. （2時間）
【事後学習】第２回宿題を通して,漸化式の１つの解き方を学修し，自然界に現れる黄金比の例を調べる. （2時間）
3 カタラン数：数え上げ問題に現れるカタラン数について学修する.【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】場合の数（高校数学）について復習しておく. （2時間）
【事後学習】第３回宿題を通して，経路に関する数え上げ問題を練習する. （2時間）
4 グラフ理論の基礎：グラフの数学的表現の仕方などグラフ理論の基礎を学修する.【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】集合の諸概念について復習しておく. （2時間）
【事後学習】第４回宿題を通して, 色々なグラフの基本量を計算してみる. （2時間）
5 オイラーグラフ：「一筆書き」を通して, オイラーグラフの理論を学修する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】一筆書きの問題を解いてみて, 結論を予想してみる. （2時間）
【事後学習】第５回宿題を通して, (半)オイラーグラフに関する定理の意味を理解する. （2時間）
6 多面体定理：平面グラフに関するオイラーの多面体定理を学修する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】正多面体のモデルを作ってみる. （2時間）
【事後学習】第６回宿題として, 多面体に関するオイラーの定理を検証する. （2時間）
7 レポートとその解説：第6回で学修した多面体定理を利用して, 正多面体の分類を証明する.【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】第６回の講義内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】正多面体の分類表を通して, 対称性について学修する. （2時間）
8 四色定理：平面グラフの四色定理に関する周辺の結果を学修する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】平面グラフのオイラーの多面体定理を復習しておく. （2時間）
【事後学習】第８回宿題として, 実際の地図の彩色数について調べてみる. （2時間）
9 平面充填形：３種類の平面充填系とアルキメデスの平面充填系について学修する.【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】正多面体の分類の証明を参考にして, 平面充填系について考察しておく. （2時間）
【事後学習】第９回宿題として, 半正多面体としてのサッカーボール型多面体の構成方法を学修する. （2時間）
10 ピックの定理：格子点の個数と面積に関するピックの定理の証明とその応用について学修する.【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】直線の方程式（中学数学）と数列の和（高校数学）について復習しておく. （2時間）
【事後学習】第10回宿題を通して, ピックの定理を実例で検証する. （2時間）
11 集合の濃度：対角線論法, 有限集合の間の単射の総数などについて学修する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】写像の単射性, 全射性（命題と論理）について復習しておく. （2時間）
【事後学習】第11回宿題として, 写像の総数について練習問題を解く. （2時間）
12 スターリング数：第１種スターリング数と第２種スターリング数の組み合わせ論的意義について学修する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】べき和の公式（高校数学）と前回の講義内容について復習しておく. （2時間）
【事後学習】第12回宿題として, 有限集合の間の全射の個数について計算してみる. （2時間）
13 レポートとその解説：これまでに学修した内容を基にレポートをまとめる. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】第12回までに学修した内容を整理しておく. （2時間）
【事後学習】ふりかえりに備えて, 再度配信動画をながめておく. （2時間）
14 バーコード，チェックデジットの話: 身近な現象から数学を見出す実例として, 「バーコード」から取り出された数学を実感する. 【オンデマンド型＋同時双方向型】
【事前学習】バーコード, 本のISBN番号などの例を集め, 内容を推理しておくこと. （2時間）
【事後学習】第14回宿題として, 集めたバーコードなどを用いて, 理論を検証する. （2時間）
15 ふりかえり: 提出したレポートのフィードバックを基に, まとめノートの完成を目指す.
【オンデマンド型】
【事前学習】レポートのフィードバックを確認しておく. （2時間）
【事後学習】「数え上げ方法」をキーワードとして, まとめノートを仕上げる. （2時間）
その他
教科書 なし
参考書 使用しない
成績評価の方法及び基準 レポート(40%)、授業参画度(60%)
レポートは, その正確さ, 丁寧さ等を評価する. また, その取り組みの姿勢も含めて(A-3,A-4)の達成度も評価する.
授業参画度は, 毎回のスライドの視聴状況, Zoom 授業内での演習の参加状況, および, 宿題の提出状況を評価する.
また, 宿題の解答を通して, (A-8)の達成度を評価する.
成績の基準についての詳細は初回の講義で説明する.
オフィスアワー Blackboard のメールを通じて随時申し込むことができる.
水曜日５限のZOOM授業内での質問も可能である.

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