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多変数微分積分学

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令和２年度以降入学者 多変数微分積分学
教員名 三村与士文
単位数    2 学年    2 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業の形態 オンデマンド型の遠隔授業を行う。
Blackboard ID:20212901
授業概要 本講義では多変数関数の解析学について学ぶ。微分積分学や解析学序論１では実数上で定義された実数値関数を取り扱ったが, 本講義では複数の独立変数を持つ実数値あるいはベクトル値の関数を対象とし, そのような関数に対して微分や積分の概念を学修する。
授業のねらい・到達目標 ・極限や微分および積分の定義を明確に説明することができる。
・微分や積分の計算を円滑に行うことができる。
・公式としての暗記だけでなく定理の証明などから論理的な考え方を学ぶ。
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシーDP3, DP6 及びカリキュラムポリシーCP1, CP9 に対応しています。

なお，新カリキュラム（令和2年度以降入学者対象）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8 に対応している。
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・与えられた問題に取り組む気持ちを持つことができる(A-5-1)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 授業の形式【講義】
講義形式と演習形式で行う。成績評価の要となる試験は全部で3回行う。
演習問題とレポートについては学生の答案をもとに講評と解説を行う。
メールでの質問は随時受付けフィードバックとして授業に反映する。
履修条件 2020年度以降の入学者のみが対象者です。2019年度以前の入学者は「解析学序論２(２コマ開講3単位)」を受講できます。
授業計画
1 ２変数関数の極限と偏微分について学ぶ.
【事前学習】教科書第５章第１節を読み, 2次元ユークリッド空間における距離の概念をピタゴラスの定理をもとに理解しておく. （2時間）
【事後学習】偏微分と全微分の違いについて理解しておく. （2時間）
2 合成関数の偏微分法と高次偏導関数について学ぶ.
【事前学習】全微分可能の定義を理解しておく. （2時間）
【事後学習】2変数における合成関数の微分を計算できるようにする. . （2時間）
3 ２変数関数のテイラー展開と極値について学ぶ.
【事前学習】1変数関数のテイラー展開を復習しておく. （2時間）
【事後学習】ヘッセ行列の符号を判定できるようにする. （2時間）
4 ｎ変数関数の偏微分について学ぶ.
【事前学習】教科書第５章第４節を読み, n次元ユークリッド空間における距離の定義を確認しておく. （2時間）
【事後学習】2変数関数と同様の性質がn変数関数についても成り立つことを理解する. （2時間）
5 授業内試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第１～第４回の内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】友人と積極的に相談して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （2時間）
6 重積分の定義と累次積分について学ぶ.
【事前学習】1変数のリーマン積分について復習しておく. （2時間）
【事後学習】重積分が1変数の積分に帰着されることを理解する. （2時間）
7 変数変換公式について学ぶ.
【事前学習】矩形領域の線形変換による面積の変化について理解しておく. （2時間）
【事後学習】重積分における変数変換公式を使いこなせるようにする. （2時間）
8 広義重積分について学ぶ(A-5).
【事前学習】1変数の広義積分について復習しておく. （2時間）
【事後学習】ガウス積分を変数変換を用いて解き, 重積分の恩恵を理解しておく. （2時間）
9 ｎ重積分について学ぶ(A-5).
【事前学習】教科書第６章第４節を読み, n重積分の定義について確認しておく. （2時間）
【事後学習】n重積分, とりわけ3重積分について計算できるようにする. （2時間）
10 授業内試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第６～第９回の内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】友人と積極的に相談して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （2時間）
11 線積分について学ぶ.
【事前学習】曲線のパラメータ表示と置換積分法について復習しておく. （2時間）
【事後学習】線積分を定義に基づいて計算できるようにする. （2時間）
12 グリーンの公式について学ぶ.
【事前学習】重積分について復習しておく。 （2時間）
【事後学習】重積分と線積分の関係について理解する. （2時間）
13 面積分について学ぶ.
【事前学習】曲面のパラメータ表示について学習しておく. （2時間）
【事後学習】面積分を定義基づいて計算できるようにする. （2時間）
14 ガウス-グリーン-ストークスの定理について学ぶ。
【事前学習】ｎ重積分について復習しておく. （2時間）
【事後学習】ガウス-グリーン-ストークスの定理の定理が微分積分学の基本定理の多次元版であることを理解する. （2時間）
15 授業内試験とその解説(A-3,A-4）
【事前学習】第１１～第１４回の内容を復習しておく （2時間）
【事後学習】友人と積極的に相談して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （2時間）
その他
教科書 高坂良史, 高橋雅朋, 加藤正和, 黒木場正城 『微分積分 増補版』 学術図書出版社 2018年 第　増補版
参考書 溝端茂 『数学解析 上 （数理解析シリーズ1）』 朝倉書店
笠原晧司 『微分積分学 （サイエンスライブラリー数学）』 サイエンス社
市原一裕 『大学教養 微分積分の基礎 （数研講座シリーズ）』 数研出版 2020年
成績評価の方法及び基準 レポート(90%)、授業参画度(10%)
授業内テスト:遠隔による実施も考慮し、場合によっては告知の上、レポートで置き換える可能性がある。(90%)、授業参画度:オンデマンド教材の視聴状況とクイズの回答状況を評価する。(10%)
A-3,A-4の達成度については授業内試験の答案を通して評価する。
A-5については発展的内容への取り組みの姿勢で評価する。
A-6については試験問題の解きなおしにおける友人達との議論の様子を見て評価する。
A-8についてはノートの整理状況を通して評価する。
オフィスアワー メール、 GoogleClassroomを用いて質疑応答を行う。

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