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線形空間論（含演習）
| 令和２年度以降入学者 | 線形空間論（含演習） | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 令和元年度以前入学者 | 線形空間論（含演習） | ||||
| 教員名 | 吉田健一 | ||||
| 単位数 | 3 | 学年 | 2 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 数学科 | ||||
| 学期 | 後期 | 履修区分 | 選択 | ||
| 授業の形態 | オンデマンド型講義＋同時双方向型授業or対面授業 Blackboard のコースID: 20212896 |
|---|---|
| 授業概要 | 必修科目である１年次の線形代数１・２には行列，連立１次方程式，ベクトル空間の理論など多くの重要な内容が含まれているが，すべてを網羅してはいない。 本講義では，線形代数１・２の続きとして，3次正方行列を中心に様々な対角化の方法とその応用を学修する。 また，本講義で修得できる理論は，代数系の講義のみならず，解析学序論２，微分方程式論１・２においても役立つはずである。 |
| 授業のねらい・到達目標 | ・3次正方行列のジョルダン標準形（対角化を含む）の求めることができる。 ・行列の対角化を利用して，数列の漸化式などに応用できる。 ・内積の理論（直交化）を理解し，対称行列を直交行列により対角化できる。 ・対称移動，回転移動の理解を深めつつ，2次曲線の標準形を求めることができる。 ・対角化の背景として，線形写像の基礎理論（次元定理など）を説明できる。 この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応している。 なお、新カリキュラム（令和２年度以降の入学者）では、この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,6,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,6,8に対応している。 ・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。 ・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて解決案を作成できる(DP4-3)。 ・与えられた問題に取り組む気持ちを持つことができる(A-5-1)。 ・親しい人々とコミュニケーションを取り，専門的知識について正しく説明することができる(DP6-2)。 ・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(DP8-1)。 |
| 授業の方法 | 授業の形式【講義・演習】 ①火曜日１限までに Blackboard を通じて配信されたスライド教材とその説明用動画が配信されるので，受講生はそれを学修する（オンデマンド型学修）. ※スライドは履修者本人がダウンロードすること。動画は視聴だけ可能である。 ②火曜日２限の時間に, 対面授業(40分)or同時双方向型授業(40分)にて，前回の課題の解説と今回の内容の補足説明がなされる. ※割り当てられた教室の規模に応じて各回の対面授業の参加希望者を募る. 抽選方法は追って知らせる. ※Zoom の動画も録画され, 同日中に配信予定. ※いずれにも出席できなかった場合はZoom の動画を視聴し，1ページのまとめノートを提出することで代用される. ③各回の配信教材の最後につけられた宿題を解き, 指定された期日までに解いて提出する. 宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出してよい. ④宿題の解答は締め切り後に配信される. また，採点結果は One Drive を通じて共有されるので, 受講生各自が確認をすることができる. ⑤Blackboard のメールを通して, 質問の機会を設ける. 受講生間のやり取りは対面授業内にて行ってもらう. ⑥到達度を確認するために，オンデマンド試験を２回行う. |
| 履修条件 | 他学科の学生が（教職免許獲得のために）受講する場合は、お勧めの履修の順序があるので、初回の講義の際に申し出ること。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
線形代数１,2で学んだ2次正方行列の「対角化」の発展として, ２次正方行列の「ジョルダン標準形」の求め方を学ぶ 【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】シラバスの概要を確認し，教科書第２章第３節～第５節に目を通しておくこと。 （１時間） 【事後学習】第１回宿題（２次正方行列のジョルダン標準形の計算例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 2 |
「固有値」と「固有ベクトル」の求め方を学ぶ(1) 【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】教科書第８章第１節を読み，固有値の定義を確認しておくこと。 （１時間） 【事後学習】第２回宿題（３次正方行列の固有値，固有ベクトルの計算）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 3 |
「固有値」と「固有ベクトル」の求め方を学ぶ(2)【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】前回の講義内容のうち，固有ベクトルの求め方を理解しておくこと。 （１時間） 【事後学習】第３回宿題（３次正方行列の固有値，固有ベクトルの計算）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 4 |
「対角化可能性」の判定法について学ぶ 【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】教科書第８章第１節を読み，対角化の定義をノートに記載しておくこと。 （１時間） 【事後学習】第３回宿題（３次正方行列の対角化の計算例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 5 |
3次正方行列の「ジョルダン標準形」の求め方を学ぶ。また，発展的な問題へのチャレンジを通して，「挑戦力（A-5）」をスキルアップする 【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】第３回配布プリントを読み，「ジョルダン標準形の分類」をノートに書いておくこと。 （１時間） 【事後学習】第４回宿題（３次正方行列のジョルダン標準形の計算例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 6 |
対角化の応用（行列のべき，数列の漸化式）について学ぶ。【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】教科書第８章第３節を読むこと。また，高校数学で学んだ方法で漸化式を解けるかどうかチャレンジすること(A-5)。 （２時間） 【事後学習】第５回宿題（３項間漸化式の計算例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 7 |
中間試験【資料閲覧可能】と解説（A-3,A-4)【オンデマンド型試験】
【事前学習】第１～６回の内容を復習しておくこと。 （６時間） 【事後学習】友人と積極的に議論して，解けなかった試験問題を解きなおすこと(A-6, A-8)。 （３時間） |
| 8 |
内積空間（内積・コーシー・シュワルツの不等式）の初歩と, 「グラム・シュミットの直交化法」を用いた正規直交基底の求め方を学ぶ【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】教科書第９章第１,２節を読み，高校数学Bのベクトルの内容を復習しておくこと。 （２時間） 【事後学習】第7回宿題（正規直交基底の計算，三角不等式の証明）を解き， 翌週提出すること。 （３時間） |
| 9 |
「直交行列による対称行列の対角化」の方法について学ぶ。【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】第２～４回の講義内容を復習し，対角化の方法を理解しておくこと。 （２時間） 【事後学習】第８回宿題（３次対称行列の直交行列による対角化の計算例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 10 |
「２次形式」と「２次曲線の標準形」の求め方を学ぶ。【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】教科書第１０章第１,２節と高校数学IIIの教科書を読み，2次曲線の種類をノートにまとめておくこと。 （１時間） 【事後学習】第９回宿題（楕円・双曲線の標準形の計算例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 11 |
「基本行変形」を利用して，「線形写像の核と像」の求め方を学ぶ。【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】線形代数１で学んだ基本行変形について復習しておくこと。 （１時間） 【事後学習】第１０回宿題（数ベクトル空間の線形写像の核と像の基底の計算）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 12 |
「線形写像の次元定理」の証明を理解する。【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】教科書第７章第１節を読み，次元定理の証明の概要をつかんでおくこと。 （１時間） 【事後学習】第１１回宿題（次元定理の証明，次元定理の応用例）を解き，翌週提出すること。 （３時間） |
| 13 |
グループ学修を通して，「対角化」と「線形写像」についての疑問点を解消する(A-6)。【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】期末試験対策問題を解くこと。 （３時間） 【事後学習】期末試験対策問題を解くこと。 （６時間） |
| 14 |
期末試験【資料閲覧可能】とその解説(A-3,A-4)【オンデマンド型試験】
【事前学習】第６回，第８～１３回までの内容を中心に復習しておくこと。 （４時間） 【事後学習】友人と積極的に議論して，解けなかった試験問題を解きなおすこと(A-6, A-8)。 （３時間） |
| 15 |
まとめ（これまでの復習・解説を行い，講義内容の理解を深める）【オンデマンド型＋同時双方向型or対面】
【事前学習】線形代数１・２及び線形空間論で学修した内容を復習し，ノートに整理すること(A-8)。 （１時間） 【事後学習】事前学習の続きを行う。 （２時間） |
| その他 | |
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| 教科書 | 渡辺敬一，松浦豊，泊昌孝 『具体例から始める線型代数』 日本評論社 2007年 第1版 |
| 参考書 | なし |
| 成績評価の方法及び基準 | レポート:レポートは3回の課題研究の提出と正確さを評価する。(30%)、授業内テスト:授業内テストは中間試験，期末試験を行い，その点数を評価する。(40%)、授業参画度:授業参画度は演習への参加と宿題の提出・正確さを評価する。(30%) ・A-3,A-4の達成度は中間試験，期末試験の解答状況にて判定し，A-5の達成度については課題（レポート、宿題）の提出状況にて判定する。また、A-6の達成度についてはBbでの質問と議論の参加状況にて判定し，最後の課題研究を通してA-8の達成度を確認する。 |
| オフィスアワー | Blackboard を通しての質問は直接回答するか，授業日までの資料に解説を載せる。 |
| 備考 | 履修要件ではないが，線形代数１・２を修得していることが望ましい。 Blackboard が使えない学生は事前に申し出ること。 シラバスの内容は学生の皆さんの学修の状況を考慮して、変更することもあります。 また、事前学習・事後学習の時間は目安です。 |