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数学研究１
| 令和元年度以前入学者 | 数学研究１ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 黒田耕嗣 | ||||
| 単位数 | 2 | 学年 | 4 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 数学科 | ||||
| 学期 | 前期 | 履修区分 | 必修 | ||
| 授業の形態 | 会議システムを使用する。ただし、この授業で使用するシステムとその使い方については、第１回授業で詳述する。 |
|---|---|
| 授業概要 | ブラウン運動,Poisson過程を含む確率過程を理解することを目指す. これらの確率過程はファイナンス数学, 損害保険数理等で重要な役割を果たしている. フィルトレーション,条件付き期待値の性質が使えるように演習問題を多く用いて解説する. |
| 授業のねらい・到達目標 | ・ブラウン運動とフィルトレーション ・条件付き期待値の基本性質 ・マーチンゲールとは何か ・有限次元分布の特性関数と共分散行列 ・Poisson 過程の導出と基本的な性質 ・Poisson過程とマーチンゲール これらの内容を含む計算方法などを身に着ける。 この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシーDP1, DP3, DP4, DP6 及びカリキュラムポリシーCP7, CP9に対応している。 なお，新カリキュラム（令和2年度以降入学者対象）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP1～8 及びカリキュラムポリシー CP1～8に対応している。 ・学修から得られた豊かな知識と教養、及び、自己の倫理感に基づいて、数理科学の役割を説明することができる(A-1-2)。 ・現代社会における数理科学の役割を理解し、そのことを踏まえて、国際社会が直面している問題を説明することができる(A-2-2)。 ・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。 ・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。 ・新しい問題に取り組むために、必要な情報を収集し、それを数理科学的に分析して用いることができる(A-5-3)。 ・多種多様な背景を持つ人々の説明の趣旨を理解し、数理科学の専門的知識と魅力を分かりやすく提供することができる(A-6-4)。 ・学修活動において、専門的知識を活かしつつ、自分の役割分担を理解し、他者と協働して作業をすることができる(A-7-3)。 ・学修活動に関する自己分析の他、他者からの評価を謙虚に受け止め、今後の学修活動に生かすことができる(A-8-4)。 |
| 授業の方法 | セミナー形式で行うが,問題演習を多用する. レポートについては添削して指導する。 |
| 履修条件 | 数学科の内規による |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
条件付き確率と条件付き期待値
【事前学習】モーメント母関数の復習 （２時間） 【事後学習】条件付き確率, 条件付き期待値に関する演習問題を課す （２時間） |
| 2 |
フィルトレーション,可測性, 条件付き期待値の性質
【事後学習】条件付き期待値の性質に関する演習問題を課す （２時間） |
| 3 |
ブラウン運動とシリンダーセットの確率
【事前学習】ガウス分布の計算の復習 （２時間） 【事後学習】いくつかのシリンダーセットの確率を求める演習問題を課す （２時間） |
| 4 |
ブラウン運動の有限次元分布の特性関数の計算
【事前学習】特性関数について復習 （２時間） 【事後学習】授業では３次元までの特性関数の計算を行い, 一般次元のケースは演習とする （２時間） |
| 5 |
ブラウン運動の共分散行列と同時確率度関数の計算
【事前学習】共分散の計算法の復習 （１時間） 【事後学習】共分散行列と同時分布から定まる行列との関係を演習として課す （３時間） |
| 6 |
ガウス過程とは
【事前学習】特に必要なし （０時間） 【事後学習】ガウス過程の共分散行列に関する演習問題を課す （４時間） |
| 7 |
非整数ブラウン運動
【事前学習】逆行列の計算法の復習 （２時間） 【事後学習】非整数ブラウン運動の共分散行列に関する演習問題を課す （２時間） |
| 8 |
独立な指数分布の和の分布
【事前学習】convolution の計算法の復習 （１時間） 【事後学習】指数分布にかかわる色々な演習問題を課す （３時間） |
| 9 |
Claim 件数過程とPoisson過程
【事前学習】指数分布の和の分布の復習 （２時間） 【事後学習】Posisson過程に関する演習問題を課す （２時間） |
| 10 |
Poisson過程とフィルトレーション, 条件付き期待値
【事前学習】条件付き期待値の基本性質の復習 （２時間） 【事後学習】Posisson過程に関する条件付き期待値に関する演習問題を課す （２時間） |
| 11 |
マーチンゲールとは何か？
【事前学習】特に必要なし （0 時間） 【事後学習】マーチンゲールに関する演習問題を課す. （４時間） |
| 12 |
ブラウン運動とマーチンゲール
【事前学習】マーチンゲールの復習 （２時間） 【事後学習】ブラウン運動におけるマーチンゲールに関する演習を課す （２時間） |
| 13 |
Poisson過程とマーチンゲール
【事前学習】特に必要なし （0時間） 【事後学習】Poisson過程におけるマーチンゲールに関する演習を課す （２時間） |
| 14 |
これまでのまとめを発表させる１
【事前学習】プレゼン資料の作成 （２時間） 【事後学習】質疑応答のまとめ （２時間） |
| 15 |
これまでのまとめを発表させる２
【事前学習】プレゼン資料の作成 （２時間） 【事後学習】質疑応答のまとめ （１時間） |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 教科書は特に指定しないがプリントは毎回用意する. |
| 参考書 | 黒田耕嗣 『経済リスクと確率論』 日本評論社 第１版 |
| 成績評価の方法及び基準 | レポート(50%)、授業参画度(50%) レポートは議論の正確さと学修内容の理解度を身に着ける。 授業参画度として、セミナーでの発表・質問、演習課題の進捗状況により評価する。 能力(A-1)から(A-8)の習熟度については、別途配布のチェック項目により評価する。 |
| オフィスアワー | 木曜１２：００から１３：００研究室にて |