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代数学１（含演習）
| 令和元年度以前入学者 | 代数学１（含演習） | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 吉田健一 | ||||
| 単位数 | 3 | 学年 | 3 | 開講区分 |
文理学部
（他学部生相互履修可） |
| 科目群 | 数学科 | ||||
| 学期 | 前期 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業の形態 | オンデマンド型授業（12回）と課題研究（３回）を組み合わせる. |
|---|---|
| 授業概要 | 抽象的な代数学の基礎として, 環とイデアルの基礎概念を修得する. 前半は整数全体を「環」とみなすことにより, 代数学序論１で学んだ概念を「環論」の視点から理解を深める. また, 後半は１変数多項式環と整数全体のなす環の類似性に注目して, 多項式環の基本的性質を学修する. |
| 授業のねらい・到達目標 | 代数学の難しさはその抽象性とその議論の厳密さにあるが, それゆえに他の分野でも欠かせない「道具」になりうる. そのことを意識した上で, 次の到達目標を設定する. ・代数系の基礎概念の理解を通して, 抽象的な議論を身に着ける. ・環とイデアルの概念を修得することにより, 整数の持つ性質を証明できるスキルを身に着ける. ・多項式と整数の類似性を説明できる. この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシーDP1, DP3, DP4, DP6 及びカリキュラムポリシーCP7, CP9に対応している。 なお，新カリキュラム（令和2年度以降入学者対象）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応している。 ・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。 ・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。 ・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。 ・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1) |
| 授業の方法 | 概ね３つのパートに分けて，スライド教材とその説明用動画のオンデマンド型授業を行い, パートの終わり毎に課題を提出してもらう. 各回の配信教材の最後に宿題をつけておくので、次の回までに解いて提出すること. 課題のフィードバックは全体向けの解答を配信する. Blackboardかラインを通して, 質問の機会を設ける. 宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出してよい. 課題研究における課題の提出方法については別途指示する. |
| 履修条件 | 代数学序論 1 を履修していることが望ましい. |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
代数系の基礎：群・環・体とは何かを学ぶ. （オンデマンド授業）
【事前学習】シラバスを確認し, 代数学序論１を履修した者はそのノートを読んでおくこと. （２時間） 【事後学習】第１回宿題を通して, 代数系の基礎概念を修得したかを確かめる. （３時間） |
| 2 |
環準同型写像と多項式環：環の代表例として, 多項式環の構造を理解する. また, 環の準同型写像の定義を学ぶ（オンデマンド授業）
【事前学習】第１回講義内容の復習, 事前配布スライドを読み, 環の定義をよく理解しておくこと. （２時間） 【事後学習】第２回宿題を通して, 多項式環の基礎的性質を理解する. （３時間） |
| 3 |
環とイデアル：イデアルの概念を学ぶ. （オンデマンド授業）
【事前学習】第１回の講義スライドと事前配信のスライド視聴をチェックし, 環について良く理解しておくこと. （２時間） 【事後学習】第３回宿題を通して, イデアルの種々の演算を修得すること. （３時間） |
| 4 |
合同式と剰余環：整数の剰余環の演算と合同式の関係を理解する. （オンデマンド授業）
【事前学習】基礎ゼミの教科書と事前配信スライドを読み, 同値関係について復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】第４回宿題を通して, 剰余環の演算を用いた合同式の解法を修得する. （３時間） |
| 5 |
代数系の基礎知識（第１～４回までの内容）に関する課題を解き, 提出する(A-3,A-4,A-5). (課題研究) 【事前学習】第１～４回の講義内容を良く復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】担当教員から提示された解答例を良く学修し, 理解に努めること（A-8). （３時間） |
| 6 |
ユークリッドの互除法：「ユークリッドの互除法」の復習を通して, 「ユークリッド環」を学ぶ. (オンデマンド授業) 【事前学習】代数学序論１で学んだユークリッドの互除法を復習し, 事前配信スライドに目を通しておくこと. （２時間） 【事後学習】第６回宿題を通して, ユークリッドの互除法を深く理解すること. （３時間） |
| 7 |
単項イデアル整域；整数環が単項イデアル整域（PID)であることを学ぶ. (オンデマンド授業)
【事前学習】第１,2回の講義内容を通して, イデアルについて復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】第７回宿題を通して, 整数環のイデアルの演算について学ぶ. （３時間） |
| 8 |
素元分解とUFD：整数の素因数分解の一意性を通して, UFDの基礎理論を学ぶ. (オンデマンド授業)
【事前学習】整数におけるユークリッドの互除法, 素因数分解の一意性を復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】第８回宿題を通して, PIDがUFDであるという事実の証明を理解する. （３時間） |
| 9 |
中国剰余定理とオイラー関数：中国剰余定理の環論的解釈とその応用について学ぶ. (オンデマンド授業)
【事前学習】以前学修した中国の剰余定理の内容を調べておくこと. （２時間） 【事後学習】第９回宿題を通して, 中国の剰余定理の使い方とオイラー関数の計算方法を修得する. （３時間） |
| 10 |
いろいろな環の性質（第６～９回までの内容）に関する課題を解き, 提出する(A-3,A-4,A-5). （課題研究）
【事前学習】第６～９回の講義内容を良く復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】担当教員から提示された解答例を良く学修し, 理解に努めること（A-8). （３時間） |
| 11 |
ユークリッド互除法：多項式版のユークリッド互除法について学ぶ. (オンデマンド授業)
【事前学習】ユークリッドの互除法と多項式の除法について復習しておく. （２時間） 【事後学習】第11回宿題を通して, 多項式版ユークリッドの互除法の使用方法について学ぶ. （３時間） |
| 12 |
１変数多項式環の性質：1変数多項式環がPIDであるという性質について学ぶ. (オンデマンド授業)
【事前学習】PID(単項イデアル整域）の定義について理解しておくこと. （２時間） 【事後学習】第12回宿題を通して, １変数多項式環の性質とその応用例を学ぶ. （３時間） |
| 13 |
多項式の既約性：Eisenstein の既約判定法, mod p の還元を通した判定法を学ぶ.
【事前学習】高次多項式の因数分解について復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】第13回宿題を通して, 多項式の既約性を判定する問題を多く解く. （３時間） |
| 14 |
多項式環（第２回, 第11～13回の内容）に関する課題を解き, 提出する(A-3,A-4,A-5). （課題研究）
【事前学習】第11～13回の講義内容を良く復習しておくこと. （２時間） 【事後学習】担当教員から提示された解答例を良く学修し, 理解に努めること（A-8). （３時間） |
| 15 |
まとめ（これまでの復習・解説を行い，講義内容の理解を深める）(オンデマンド型授業）
【事前学習】代数学１で学修した内容を整理しておくこと。 （２時間） 【事後学習】代数学序論１と代数学１で学修した内容を比較して，理解を深めること。 （３時間） |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | スライド資料を配信します. |
| 参考書 | 渡辺敬一，草場公邦 『『代数の世界・改訂版 （すうがくぶっくす）』』 朝倉書店 2012年 第1版 随時紹介する |
| 成績評価の方法及び基準 | レポート(60%)、授業参画度(40%) レポート（課題研究の課題）はその正確さ, 丁寧さを評価する. また, その取り組みの姿勢も含めて(A-3,A-4)の達成度も評価する. いくつかの発展的な問題に対する取り組むを通して (A-5)の達成度を評価する. 授業参画度は毎回のスライドの視聴状況およびその宿題の提出状況を評価する. また, 宿題の解答を通して, (A-8)の達成度を評価する. |
| オフィスアワー | ライン, Blackboard を通して随時行う. |
| 備考 | Blackboard のコースID：20203095 |