基礎数理特別研究I

授業テーマ	積分の現代的取り扱いを理解する.
授業のねらい・到達目標	偏微分方程式や変分問題の研究においては, その一般性の高さのため, 微分積分学で学ぶリーマン積分論ではなく, ルベーグ積分論が用いられる. これを理解することにより, 関数解析学と合わせて, 次年度のソボレフ空間論の理解への足掛かりとする.
授業の方法	講義形式で進める. また毎回簡単な演習問題を課題として出すので, その発表, 指導も随時行う.
履修条件	特になし
事前学修・事後学修，授業計画コメント	●[事前学修] 微分積分学で学んだリーマン積分とはどういう積分論であったか復習をしておいてほしい. ●[事後学修] 講義で学んだ該当部分を指定教科書を使って改めて理解してほしい ●[授業計画] 毎回簡単な演習問題を提示するので, 学生には次の回に演習形式でその発表を行ってもらい, 理解度を確認する.

授業計画
1	リーマン積分の概要復習
2	集合論に関する予備知識の復習
3	有限加法的測度の定義と性質
4	カラテオドリー外測度の導入
5	ルベーグ外測度の導入
6	可測性の概念の定義と可測集合の性質
7	測度とルベーグ測度
8	ボレル集合の定義と性質
9	ルベーグ測度に限定した測度の性質 --- ルベーグ非可測集合の例
10	ルベーグ測度の正則性定理とその証明
11	カントール集合, カントール関数
12	測度空間の完備化
13	非可測集合の存在 --- 実例の紹介
14	拡張定理と直積測度
15	演習問題およびレポート問題の解説
16	可測関数の定義と性質
17	エゴロフの定理の証明
18	ルージンの定理の証明
19	一般次元ユークリッド空間上のルベーグ可測関数の性質
20	ボレル可測性とルベーグ可測性の関係
21	積分基本性質とその証明
22	積分の平均値定理の証明
23	ルベーグ積分の不変性, ルベーグの定理
24	項別積分に関する諸定理 1 --- 関数講級数の考察
25	項別積分に関する諸定理 2 --- 積分の絶対連続性
26	項別積分に関する諸定理 3 --- ファトゥーの定理
27	項別積分に関する諸定理 4 --- 有界収束性定理
28	項別積分に関する諸定理 5 --- ルベーグの収束定理
29	微分と積分の交換定理
30	多変数関数の積分に対するフビニの定理

その他
教科書	伊藤清三『ルベーグ積分入門（数学選書4）』裳華房 1963年第1版かなり詳細に専門的見地から書かれている書物である. 事前学修より事後学修に重きを置いて勉強してほしい.
成績評価の方法及び基準	レポート(65%)、演習解答による内容理解到達度の確認(発表)(35%) [詳細] ●内容的に区切りのよい箇所で, レポート課題を3回程度出す. レポートの完成度, 内容理解度に応じて評価する. ●「演習解答による内容理解到達度の確認」とは, 毎回講義した内容から一つ課題を出し, 次の回に学生自身に演習として発表形式で解答してもらうことを指す.
オフィスアワー	金曜日4限