解析学特論I

授業テーマ	双曲型偏微分方程式の解の構成
授業のねらい・到達目標	時間発展方程式には放物型偏微分方程式の他に双曲型偏微分方程式があり，これは主に波動，振動を記述する方程式である．本科目では，まず線形の双曲型偏微分方程式の解の存在・正則性について議論する．次に，同方程式の近似解を，時間変数に関して差分化した方程式に対応する変分汎関数の最小化関数の列を用いて構成（離散Morse流法）し，この近似解に対する正則性解析を行って求めるべき解を具体的に構成する．
授業の方法	各回，講義を行う．
事前学修・事後学修，授業計画コメント	[事前学修] 多変数関数の微分積分，実解析の復習．特に必要な項目は各回の講義内容に付記しています． [事後学修] 講義ノートの整理． [授業計画コメント] 学修状況によっては，講義内容が変更になることもあります．

授業計画
1	波動方程式の古典的な解法 [準備] 多変数関数の微分積分
2	Galerkin法による近似解の構成 [準備] Sobolev空間，常微分方程式系の一意可解性
3	Galerkin法による近似解のエネルギー評価と極限移行 [準備] ノルム空間の弱コンパクト性，Rellichの定理
4	弱解の正則性解析 [準備] 前回までの講義内容の復習
5	離散Morse流の構成 [準備] Youngの不等式，上限と下限，コンパクト性
6	Gehring理論(1)：Calderón-Zygmund分割
7	Gehring理論(2)：逆Hölderの不等式 [準備] 前回の講義内容の復習
8	離散Morse流の基本評価 (1) [準備] 第5回講義内容の復習
9	離散Morse流の基本評価 (2) [準備] 前回までの講義内容の復習
10	離散Morse流の正則性解析: 近似解のコンパクト性 [準備] 前回までの講義内容の復習
11	離散Morse流の極限移行 [準備] ノルム空間の弱コンパクト性，Rellichの定理
12	非線形問題への応用(1)：問題設定と離散Morse流の構成 [準備] 線形方程式に対する離散Morse流の構成
13	非線形問題への応用(2)：離散Morse流の基本評価 [準備] 線形方程式に対する離散Morse流の基本評価
14	非線形問題への応用(3)：離散Morse流の極限移行 [準備] 線形方程式に対する離散Morse流の極限移行
15	まとめと総括

その他
教科書	使用しない
参考書	Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations:Graduate Studies in Mathematics (vol. 19), American Mathematical Society, 2010, 2 edition 適宜，論文を紹介する．
成績評価の方法及び基準	レポート(20%)、授業参画度(80%)
オフィスアワー	授業終了後