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代数学序論１（含演習）

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科目名 代数学序論１（含演習）
教員名 泊 昌孝
単位数    3 学年    2 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業テーマ 抽象代数学の入門；同値関係、整数、フェルマーの小定理、多項式の簡単な性質、置換
線形代数１、２、基礎数学ゼミ、や数学入門で扱った、「大学の数学の入門」のその２として、具体的な計算による「代数系入門」
授業のねらい・到達目標 代数の考え方は、実はそんなに多くない。群、環、体、どの代数系でも良い。
何かひとつ、基本的な性質がしっかり理解できること、その基本となる整数、特に余りの数を用いた代数に親しむこと、を目標にする。
不思議なことに他の分野でも自然と理解が深まるものです。その材料になるのが、整数や多項式の性質です。ここではその材料をしっかりと学びたい。
授業の方法 まず講義で概念を理解し，それを演習で身につける．授業はその場でわかることを目的とするのでわからないときは必ず質問すること。
ルービックキューブなどを使って、代数の楽しさをゲームで体験してもらう。
履修条件 なし
事前学修・事後学修，授業計画コメント 毎回の講義の復習を必ずすること．
授業計画
1 代数系とは。２項演算。集合の２項関係。同値関係。（第一回目から授業をします。）
【事前学習：参考書として線形代数学として一年時に学習した書籍で加法やスカラー倍を復習する，教科書第一章 p.3-p.4 】
2 集合、同値関係、写像による同値関係の扱い
【事前学習，高校教科書の数学Aの集合の取り扱い、数学入門で学習した「同値関係についての取り扱い」の復習】
3 整数の合同関係。同値関係を保つ演算。合同式。
【事前学習，高校教科書の数学Aの整数の取り扱い、これまでに配布した資料の復習】
4 最大公約数とユークリッドの互除法、フィボナッチ数列とラメの定理
【事前学習，互除法の意味について数学Aでの整数の取り扱いを復習しておく、これまでに配布した資料、演習問題の確認】
5 有限環 Z_n、可換環としての性質、ゼロ因子と素数の関係
【事前学習、教科書 p.29-33 これまでに配布した資料、演習問題の確認】
6 1次不定方程式、一次合同式、中国の剰余定理, 素数、素数が無限個存在すること
【事前学習、これまでに配布した資料、演習問題の確認】
7 フェルマーの小定理、オイラーの定理、循環少数と余りの数、１０進展開による有理数の判定法
【事前学習、教科書 p.34-p.37 これまでに配布した資料、演習問題の確認】
8 授業内試験（中間試験）、試験の後解説、素因数分解、応用
【事前学習：毎回の演習問題、その略解、講義で板書してもらったノートなどの順で理解を確実にしておくこと]
9 素因数分解を用いた、整数についての性質、最大公約数、最小公倍数
【事前学習：毎回の演習問題、その略解、講義で板書してもらったノートなどの順で理解を確実にしておくこと]
10 原始根、有限体
【事前学習：硲文夫著参考書からの抜粋資料の確認]
11 置換を用いたやさしい群論の入門、ルービックキューブ
【事前学習：毎回の演習問題、その略解、講義で板書してもらったノートなどの順で理解を確実にしておくこと]
12 一変数多項式環の性質、整数との類似性
【事前学習：毎回の演習問題、その略解、講義で板書してもらったノートなどの順で理解を確実にしておくこと]
13 講義内容の総括、重要点の確認、メディア授業へ向けた課題の提示と資料の配布と説明
【事前学習：教科書第1章の各問題を確認、前期配布の全資料の通読】
14 事前に配布指示範囲の問題に関してe-mail などのメディアを使用して、質疑応答を行い、フィードバックを行う．
【事前学習：第１３回の最後に行った基本問題を中心に、重要問題を解き、質問に備える】
15 授業内試験（最終試験）、試験の後解説、まとめ。代数学序論２へ向けての展望、実社会での代数学の応用：暗号理論、符号理論、インド式計算法
【事前学習：毎回の演習問題、その略解、講義で板書してもらったノート、メディア授業での問題と解答などの順で理解を確実にしておくこと]
その他
教科書 渡辺敬一、草場公彦 『代数の世界』 朝倉書店 1994年
代数系の議論の基本として、群、環、体を扱い、ガロア理論までカバーをしている標準的な書籍として、教科書に指定したいとおもいます。
代数学序論１では、この本第一章の内容を下敷きにして、徹底的に丁寧な議論によるそれぞれの項目の導入を目指します。
参考書 硲　文夫 『初等代数学 (ON DEMAND版)  （新数学入門シリーズ1）』 森北出版 1993年 第1版
数学科教員 『数学基礎セミナー （自主創造の基礎1で使った教科書）』 日本評論社 2002年
「硲先生の本」こんなに丁寧に書いてあって、かつ数学的に内容がしっかりした和書を私は知りません。数学科で代数を学ぶ諸君にぜひ一読してほしいです。私の講義の整数の余りの部分の取り扱いについては、随分この参考書によっています。
「数学基礎セミナー」は、数学入門でもならったであろう、数学を学んでゆくうえで必要になる論理や、集合論の基礎の拠り所とします。
成績評価の方法及び基準 授業内テスト(70%)、授業参画度(30%)
オフィスアワー まず、授業の終了直後に教室内にて、質問をうけつけます。その上で、当方が研究室に滞在する予定の基本をお知らせし、授業開始時にオフィスアワー式の質問の方法をお伝えします。

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