数と宇宙１

科目名平成28年度入学者	数と宇宙１
科目名平成27年度以前入学者	数と宇宙１
教員名	松浦　豊
単位数	2	学年	1～4	開講区分	文理学部
科目群	総合教育科目
学期	後期	履修区分	選択

授業テーマ	数学では「無限」をどのように考えているのだろう. 幾何学や集合論の歴史から, 通常の直観とはなじまない数学の定理の紹介から始める. そして, 数学における公理的方法について話をする. 無限の多さに違いがあること, それらの間に加法, 乗法が定義できて通常の演算と同様な法則が成り立つことを見る. そしてこれらの無限に対する演算によって, 有限な自然数に関するある定理が証明されること,さらにこの定理が自然数の世界の中だけでは証明出来ないことなどを紹介する.
授業のねらい・到達目標	「数学は厳密な学問である. 提示された問題には正しいか否かが必ず確定している.」という話を時々聞く. この講義ではこの問いに完全には答えられないが, 数学では無限をどのように考えているかといったことを手がかりにして, 数学に対して通常もたれている上のような印象とは少し違った面を紹介したい. 数学の技術的な面はあまり気にせずに, 考え方を感じとってほしい.
授業の方法	教科書は用いない. プリントを配布する. 授業中に適宜参考書を紹介する.
履修条件	なし
事前学修・事後学修，授業計画コメント	始めの数回の後にプリントを配布する. 講義の後には必ず話の内容を思い出し, 反芻してほしい. 次回の話については, 予告されたテーマについてのプリントの部分を読んでおくこと. 講義では証明の細部は省略することが多くなるので, 練習問題として各自補足すること. これらはレポートとしての提出を求められることもあり得る.

授業計画
1	ガイダンス. ユークリッド幾何, 非ユークリッド幾何(いろいろな幾何学).
2	「集合」について. 【準備】前回の講義内容の復習
3	無限の多さ比べ(I). 【準備】前回の講義内容の復習
4	無限の多さ比べ(II)(ラッセルのパラドックス, バナッハ・タルスキーのパラドックス). 【準備】前回の講義内容の復習
5	無限の多さ比べ(III). カントール・ベルンシュタインの定理. 【準備】前回の講義内容の復習
6	「数」について(自然数, 有理数, 実数). 【準備】前回の講義内容の復習
7	数と集合. 【準備】前回の講義内容の復習
8	整列集合,　超限(数学的)帰納法. 【準備】前回の講義内容の復習
9	選出公理, 整列定理, ツォルンの補題. 【準備】前回の講義内容の復習
10	(1)の公理, 定理, 補題が現れる例. 【準備】前回の講義内容の復習
11	順序数. 【準備】前回の講義内容の復習
12	順序数の加法, 乗法について. 【準備】前回の講義内容の復習
13	グッドシュタインの定理, ヘラクレスとヒドラの話. 【準備】前回の講義内容の復習
14	カービイ・パリスの定理の話. 【準備】前回の講義内容の復習
15	補足とまとめ及び質疑.

その他
教科書	使用せず
参考書	授業中に指示する
成績評価の方法及び基準	平常点(20%)、レポート(80%) 授業中のレポート課題に対する取り組みおよび平常点による.
オフィスアワー	本授業終了後, 本館2F講師室にて20分間.
備考	初回から休まず出席することを諸君に要望する.